0043. 字符串相乘【中等】

• 1. 📝 题目描述
• 2. 🎯 s.1 - 竖式乘法模拟
  • 2.1. 数学层面：证明 pos 长度 m + n 足够存储结果

1. 📝 题目描述

• leetcode

给定两个以字符串形式表示的非负整数 num1 和 num2，返回 num1 和 num2 的乘积，它们的乘积也表示为字符串形式。

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注意：不能使用任何内置的 BigInteger 库或直接将输入转换为整数。

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示例 1：

输入: num1 = "2", num2 = "3"
输出: "6"

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示例 2：

输入: num1 = "123", num2 = "456"
输出: "56088"

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提示：

• 1 <= num1.length, num2.length <= 200
• num1 和 num2 只能由数字组成。
• num1 和 num2 都不包含任何前导零，除了数字 0 本身。

2. 🎯 s.1 - 竖式乘法模拟

c

char* multiply(char* num1, char* num2) {
    int m = strlen(num1), n = strlen(num2);
    int len = m + n;
    int* pos = (int*)calloc(len, sizeof(int));

    for (int i = m - 1; i >= 0; i--) {
        for (int j = n - 1; j >= 0; j--) {
            int mul = (num1[i] - '0') * (num2[j] - '0');
            int p1 = i + j, p2 = i + j + 1;
            int sum = mul + pos[p2];
            pos[p2] = sum % 10;
            pos[p1] += sum / 10;
        }
    }

    char* res = (char*)malloc((len + 1) * sizeof(char));
    int start = 0;
    while (start < len - 1 && pos[start] == 0) start++;  // 跳过前导零
    int idx = 0;
    for (int i = start; i < len; i++) {
        res[idx++] = '0' + pos[i];
    }
    res[idx] = '\0';
    free(pos);
    return res;
}

js

/**
 * @param {string} num1
 * @param {string} num2
 * @return {string}
 */
var multiply = function (num1, num2) {
  const m = num1.length,
    n = num2.length
  const pos = new Array(m + n).fill(0)

  for (let i = m - 1; i >= 0; i--) {
    for (let j = n - 1; j >= 0; j--) {
      const mul = (num1[i] - '0') * (num2[j] - '0')
      const p1 = i + j,
        p2 = i + j + 1
      const sum = mul + pos[p2]
      pos[p2] = sum % 10
      pos[p1] += Math.floor(sum / 10)
    }
  }

  const res = pos.join('').replace(/^0+/, '')
  return res || '0'
}

py

class Solution:
    def multiply(self, num1: str, num2: str) -> str:
        m, n = len(num1), len(num2)
        pos = [0] * (m + n)

        for i in range(m - 1, -1, -1):
            for j in range(n - 1, -1, -1):
                mul = int(num1[i]) * int(num2[j])
                p1, p2 = i + j, i + j + 1
                total = mul + pos[p2]
                pos[p2] = total % 10
                pos[p1] += total // 10

        res = ''.join(map(str, pos)).lstrip('0')
        return res or '0'

• 时间复杂度：$O(m\times n)$，其中 $m$ 和 $n$ 分别是 num1 和 num2 的长度
• 空间复杂度：$O(m+n)$，结果数组长度最多为 $m+n$

算法思路：

• 模拟竖式乘法：num1[i] 与 num2[j] 相乘的结果，进位影响 pos[i+j]，个位存入 pos[i+j+1]
• 用长度为 $m+n$ 的整数数组 pos 累加每一位的贡献，最后将各位合并为字符串
• 跳过结果字符串的前导零，若全为零则返回 "0"

2.1. 数学层面：证明 pos 长度 m + n 足够存储结果

一个 m 位数最大为 ${10}^m-1$（例如 m = 3，3 位数最大是 999），因此：

$$\text{num1}\le {10}^m-1<{10}^m$$$$\text{num2}\le {10}^n-1<{10}^n$$

两数相乘：

$$\text{num1}\times \text{num2}<{10}^m\times {10}^n={10}^{m+n}$$

而 ${10}^{m+n}$ 是一个 $m+n+1$ 位数（1 后面跟 $m+n$ 个 0），所以乘积 严格小于 ${10}^{m+n}$，即乘积最多 $m+n$ 位。

pos 数组有 m + n 个位置（下标 0 到 m+n-1），恰好能容纳最多 m+n 位的结果。